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本书强调抽象的向量空间和线性映射, 内容涉及多项式、本征值、本征向量、内积空间、迹与行列式等. 本书在内容编排和处理方法上与国内通行的做法大不相同, 它完全抛开行列式, 采用更直接、更简捷的方法阐述了向量空间和线性算子的基本理论. 书中对一些术语、结论、数学家、证明思想和启示等做了注释, 不仅增加了趣味性, 还加强了读者对一些概念和思想方法的理解.

本书起点低, 无需线性代数方面的预备知识即可学习, 非常适合作为教材. 另外, 本书方法新颖, 非常值得相关教师和科研人员参考.

第1章 向量空间

S1.1 复数

S1.2 向量空间的定义

S1.3 向量空间的性质

S1.4 子空间

S1.5 和与直和

习题

第2章 有限维向量空间

S2.1 张成与线性无关

S2.2 基

S2.3 维数

习题

第3章 线性映射

S3.1 定义与例子

S3.2 零空间与值域

S3.3 线性映射的矩阵

S3.4 可逆性

习题

第4章 多项式

S4.1 次数

S4.2 复系数

S4.3 实系数

习题

第5章 本征值与本征向量

S5.1 不变子空间

S5.2 多项式对算子的作用

S5.3 上三角矩阵

S5.4 对角矩阵

S5.5 实向量空间的不变子空间

习题

第6章 内积空间

S6.1 内积

S6.2 范数

S6.3 规范正交基

S6.4 正交投影与极小化问题

S6.5 线性泛函与伴随

习题

第7章 内积空间上的算子

S7.1 自伴算子与正规算子

S7.2 谱定理

S7.3 实内积空间上的正规算子

S7.4 正算子

S7.5 等距同构

S7.6 极分解与奇异值分解

习题

第8章 复向量空间上的算子

S8.1 广义本征向量

S8.2 特征多项式

S8.3 算子的分解

S8.4 平方根

S8.5 极小多项式

S8.6 约当形

习题

第9章 实向量空间上的算子

S9.1 方阵的本征值

S9.2 分块上三角矩阵

S9.3 特征多项式

习题

第10章 迹与行列式

S10.1 基变换

S10.2 迹

S10.3 算子的行列式

S10.4 矩阵的行列式

S10.5 体积

习题

符号索引

索引

Sheldon Axler　1975年毕业于加州大学伯克利分校，现为旧金山州立大学理工学院院长。《美国数学月刊》的编委，*Mathematical Intelligencer*主编，同时还是Springer的GTM研究生数学教材系列等多个系列丛书的主编。

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作为上面命题应用的一个例子，考虑组((5,7),(4,3))。F2中这个含有两个向量的组显然是线性无关的，因为任意向量都不是另外一个向量的标量倍)。

在上下文中，基通常都是自明的，但是，当采用符号 M(v, (v1, ..., vn)) 而不采用 M(v) 时，就需要把基明确地写出来。

3.4 定理: 如果 V 是有限维向量空间, 并且 T∈ ℒ (V, W), 那么 range T 是 W 的有限维子空间, 并且

dim V = dim null T + dim range T

这个推论的叙述并未涉及迹，但其简短的证明却用到了迹。在数学中一旦有类似的事情发生，我们可以确信背后一定隐藏着一个很好的定义。

那么可以把 M(T) 的第 k 列视为 T 对 k 个基向量的作用。

书籍介绍

本书强调抽象的向量空间和线性映射, 内容涉及多项式、本征值、本征向量、内积空间、迹与行列式等. 本书在内容编排和处理方法上与国内通行的做法大不相同, 它完全抛开行列式, 采用更直接、更简捷的方法阐述了向量空间和线性算子的基本理论. 书中对一些术语、结论、数学家、证明思想和启示等做了注释, 不仅增加了趣味性, 还加强了读者对一些概念和思想方法的理解.

本书起点低, 无需线性代数方面的预备知识即可学习, 非常适合作为教材. 另外, 本书方法新颖, 非常值得相关教师和科研人员参考.